BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Seperti yang kita ketahui bahwa matematika terapan berperan sebagai ilmu pengetahuan pembantu yang sangat penting bagi ilmu pengetahuan lainnya, terutama bagi ilmu pengetahuan eksak, dan akhir-akhir ini juga bagi ilmu pengetahuan sosial, termasuk didalamnya ilmu ekonomi. Peranan itu sekarang semakin bertambah meluas dan mendalam.
Dengan beratnya tugas yang dibebankan kepada matematika sebagai alat, maka alat itu sendiri telah mengalami berbagai pembaharuan dan perkembangan. Meluasnya penggunaan matematika juga dalam ilmu sosial jelas terlihat pada ilmu ekonomi. Sebelum perang dunia kedua, analisis ekonomi terutama dilakukan secara verbal. Perlu dikemukakan bahwa ekonomika verbal pun tidak luput sama sekali dari pemakaian matematika yaitu dalam bentuk analisis geometri dengan diagram-diagram, namun pemakaian hitung diferensial dan integral, persamaan diferensial dan diferensi, aljabar vektor dan matriks pada umumnya belum digunakan.
Harus diakui bahwa sejak akhir abad 19 memang sudah ada juga ahliahli ekonomi yang menggunakan matematika untuk analisis ekonomi, dan ahli-ahli matematika yang menerapkan analisis matematika pada ilmu ekonomi seperti Jevons, Marshall, Walras, namun jumlahnya masih sedikit. Baru setelah perang dunia kedua ekonomika matematis mengalami perkembangan yang pesat. Buku-buku ekonomi banyak mengandung analisis matematika dan banyak karangan dalam majalah-majalah ekonomi berorientasikan matematika.
Matematika adalah suatu cabang logika yang menyediakan suatu kerangka sistematis. Dalam matematika, definisi, aksioma, dan anggapananggapan dinyatakan secara tepat dengan menggunakan lambang-lambang sedangkan kesimpulannya dapat ditarik dengan proses analisis deduktif. Sedangkan ilmu ekonomi adalah ilmu yang memusat pada konsep-konsep kuantitatif, misalnya: harga, biaya, tingkat upah, investasi, penghasilan, dan laba. Dari kedua hal diatas dapat disimpulkan bahwa analisis ekonomi tidak bisa dilepaskan dari matematika. Apabila variabel ekonomi dinyatakan dengan lambang-lambang maka nilainya dinyatakan secara matematis. Matematika menyediakan teknik untuk menganalisis arti diantara lambang-lambang tersebut, yang berarti juga arti dari variabel-variabel yang diwakilinya. Oleh karena itu banyak analisis ekonomi yang kemudian menggunakan analisis matematika terapan.
Didalam matematika maupun ekonomi kita mengenal masalah optimasi (masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum atau paling… , jika ada banyak kemungkinan, bagaimana kita mendapatkan yang terbaik ?, mana yang paling baik ?). Dalam kehidupan sehari hari, baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi opimasi yang dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi.
Pada diferensial fungsi majemuk kita mengenal konsep diferensial parsial. Dalam diferensial fungsi majemuk kita juga dapat melakukan penyelidikan mengenai kedudukan-kedudukan khusus dari sebuah fungsi seperti halnya diferensial pada sebuah fungsi dengan satu variabel bebas. Nilai-nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari sebuah fungsi majemuk dapat dicari dengan menggunakan konsep diferensial parsial.
Dalam penerapannya sering kali kita diharuskan untuk mengoptimumkan (menentukan nilai ekstrim) dari sebuah fungsi, yakni menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi, tetapi ada syarat yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan menghadapi suatu kendala (constraint). Kasus optimasi bersyarat semacam ini banyak dijumpai dalam bidang ekonomi. Misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas, atau tingkat kepuasannya tetapi terikat pada fungsi pendapatan, atau sebuah perusahaan yang ingin memaksimumkan labanya namun terikat pada fungsi produksi. Maka suatu cara yang dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi yang bersyarat adalah dengan menggunakan Pengganda Lagrange, yakni dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan di tambah hasil kali pengganda Lagrange λ dengan fungsi kendalanya.
Berdasarkan permasalahan tersebut penulis mencoba menuangkannya kedalam penulisan skripsi dengan judul “Optimasi Bersyarat dengan Menggunakan Multiplier Lagrange dan Aplikasinya pada Berbagai Kasus dalam Bidang Ekonomi”.
B. Permasalahan
Rumusan masalah yang diangkat dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut.
a. Bagaimana mencari nilai optimum suatu fungsi dengan kendala fungsi lain dengan menggunakan Multiplier Lagrange?
b. Bagaimana penerapan optimasi bersyarat dengan menggunakan Multiplier Lagrange dalam berbagai kasus (contoh) dalam bidang ekonomi?
C. Batasan Masalah
Dalam penyusunan skripsi ini, membahas tentang Multiplier Lagrange. Metode tersebut digunakan untuk menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dengan kendala fungsi lain. Selanjutnya menerapkan metode tersebut untuk menyelesaikan optimasi bersyarat dalam contoh, khususnya dalam bidang ekonomi.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
a. Mengetahui penggunaan Multiplier Lagrange dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi dengan kendala fungsi lain.
b. Menerapkan Multiplier Lagrange dalam menyelesaikan berbagai kasus (contoh) yang berhubungan dengan optimasi bersyarat khususnya dalam bidang ekonomi.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
a. Bagi Penulis
1) Membantu penulis dalam menerapkan ilmu-ilmunya sehingga dapat semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang di peroleh selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam kehidupan nyata.
2) Menambah wawasan penulis tentang metode Multiplier Lagrange, serta dapat mencari solusi Optimal dari kasus yang berhubungan dengan Multiplier Lagrange.
b. Bagi Jurusan
1) Dapat dijadikan sebagai bahan studi kasus bagi pembaca dan acuan bagi mahasiswa.
2) Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.
F. Sistematika Penulisan Skripsi
Sistematika penulisan skripsi ini dibagi dalam 3 bagian yaitu bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir. Bagian awal skripsi berisi halaman judul, lembar pengesahan, lembar pernyataan, motto dan persembahan, abstrak, kata pengantar, daftar isi, daftar gambar. Bagian isi terdiri dari 5 bab, meliputi hal-hal sebagai berikut.
BAB I : PENDAHULUAN
Pada bab I berisi latar belakang ,permasalahan, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian serta sistematika penulisan skripsi.
BAB II : LANDASAN TEORI
Pada bab II berisi tentang materi dan teori-teori yang berhubungan dengan permasalahan yang dibuat dalam penelitian ini yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah.
BAB III : METODE PENELITIAN
Pada bab III Memaparkan tentang prosedur dan langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis dan pemecahan masalah, penarikan simpulan.
BAB IV : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada bab IV berisikan pembahasan dan analisis dari penelitian.
BAB V : PENUTUP
Pada bab V Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran yang ditujukan untuk pembaca umumnya dan bagi penulis sendiri khususnya. Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan lampiran-lampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.
