BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai ilmu pengetahuan dasar, memegang peranan yang sangat penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan di dunia. Apalagi dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita dihadapkan pada suatu keadaan dimana kita harus menghitung atau mencacah sesuatu, mulai dari hal-hal yang sederhana seperti menghitung berapa banyak buku tulis yang harus dibeli pada awal semester hingga hal-hal rumit, seperti bagaimana mengalokasikan waktu-waktu seefisien mungkin menjelang ujian. Perhitungan semacam itu sering kali mutlak diperlukan sebelum kita melakukannya. Hal ini bertujuan untuk mengoptimalkan usaha yang kita lakukan. Kemutlakan sesuatu itu benar atau tidak benar bukan berada pada manusia ataupun pada lembaga atau organisasi. Tuhan yang Maha Kuasa yang mempunyai hak mutlak atas segalanya. (Habib Ajie : 2008) Sebagaimana Firman Allah SWT: Artinya: Hai manusia, Sesungguhnya telah datang kepadamu bukti kebenaran dari Tuhanmu. (Muhammad dengan mukjizatnya) dan telah kami turunkan kepadamu cahaya yang terang benderang (Al Quran). (QS. An-Nisa:174)
Banyak orang memahami bahwa seseorang tidak akan pernah sampai kepada puncak kewalian kecuali ia terbebas (maksum) dari segala kesalahan, hal ini sangat menjauhi kebenaran yang terdapat dalam Islam. Sesungguhnya para ulama telah sepakat tiada yang maksum dari umat manusia kecuali para nabi dan rasul dalam hal menyampaikan wahyu yang mereka terima. Nabi kita shalallahu ‘alaihi wa sallam bersabda “Setiap anak adam adalah pasti bersalah, dan sebaik-baik orang yang bersalah adalah yang mau bertaubat”. (HR. At Tirmizy no:2499).
Bambang Triatmodjo (1996:1) mendefinisikan metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (aritmatic). Dalam metode numerik ini dilakukan operasi hitungan dan jumlah yang sangat banyak dan berulangulang, serta metode numerik mampu menyelesaikan suatu sistem persamaan yang besar, nonlinier dan sangat komplek yang tidak mungkin diselesaikan secara analitis. Ilmu metode numerik adalah milik semua ahli dari berbagai bidang, seperti sipil, mesin, elektro, kimia, aeronotika, kedokteran, ekonomi, sosial dan bidang ilmu lainnya. Sehingga dapat dikatakan bahwa metode numerik merupakan ilmu pengetahuan yang digunakan untuk membantu mempermudah kehidupan manusia sehari hari.
Sebagaimana firman Allah SWT: Kemudahan yang diperoleh seseorang, tidak terlepas dari adanya suatu usaha, perantara, dan doa. Perantara disini dapat berupa sesuatu yang berwujud (benda) maupun sesuatu yang tidak berwujud (ilmu pengetahuan). kendatipun demikian kesulitan yang disebutkan di dalam surat Asy-syarh di atas bukan kesulitan di bidang finansial pada umumnya, tapi keluasan makna dari ayat tersebut sebenarnya mencakup segala kesulitan, dan tidak hanya ditujukan kepada Nabi Muhammad SAW dan umat di zamannya. Aturan ini bersifat umum dan berlaku bagi semua generasi manusia. Jadi, sebesar apapun permasalahan yang dihadapi di jalan Allah, maka Allah senantiasa memberi solusi atau jalan keluar. Ketika berbicara tentang solusi, maka tidak lepas dari usaha dan perubahan yang diinginkan oleh seseorang, untuk menjadi lebih baik. (Allamah, 2006:41)
Sebagaimana firman Allah SWT: Tafsir dari ayat di atas yaitu, Allah SWT tidak mengubah keadaan mereka selama mereka tidak mengubah sebab-sebab kemunduran mereka. Jadi, perubahan dari yang buruk menjadi yang lebih baik merupakan ijtihad yang dilakukan sesuatu kaum untuk mendapatkan perubahan yang sebenarnya.
Apabila Allah SWT menghendaki bala atau bencana atas suatu kaum maka tidak ada yang bisa mencegahnya, mereka tidak mempunyai penolong yang bisa membantu menangani persoalan mereka untuk mendapatkan apa yang mereka suka dan menghalangi apa yang mereka benci, Allah SWT yang semata-mata yang mengendalikan segala urusan hamba-hambanya. (Aidh Al- Aqrni, 2008)
Persamaan adalah suatu pernyataan matematis, seperti Suatu persamaan disebut persamaan linier dalam suatu variabel jika pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan tersebut adalah 1. Suatu persamaan disebut persamaan kuadrat dalam variabel jika pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah 2. Persamaan __ adalah persamaan linier dalam satu variabel, persamaan __ adalah persamaan kuadrat dalam satu variabel, persamaan __ adalah persamaan linier dalam masing-masing dari kedua variabel tersebut tetapi berderajat 2 dalam dua variabel tersebut, sedangkan persamaan __ adalah persamaan nonlinier yang variabelnya sama dengan nol.(Frank Ayres:2004:17) Penyelesaian persamaan linier dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC Beberapa persamaan polinomial yang sederhana dapat diselesaikan teorema sisa, sehingga tidak memerlukan metode numerik dalam menyelesaikannya, karena metode analitik dapat dilakukan. Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan
Persamaan nonlinier diatas tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier secara numerik merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang.
Dalam hal-hal tertentu, metode iteratif terkadang lebih baik dibanding dengan metode langsung atau eksak, diantara metode iteratif, yaitu metode Jacobian dan Gauss – Seidel. Metode iterasi Jacobian merupakan salah satu metode tak langsung atau eksak, yaitu untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier. Pada penelitian ini penulis tertarik untuk mengangkat sebuah judul “Solusi Sistem Persamaan Non Linier dengan Metode Jacobian”
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan nonlinier dengan metode Jacobian?
2. Bagaimana eror dan konvergensi metode Jacobian?
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah
1. Mengetahui penyelesaian sistem persamaaan nonlinier dengan metode Jacobian.
2. Mengetahui eror dan konvergensi metode Jacobian.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penulis memilih judul ini adalah sebagai berikut:
1 Bagi penulis, sebagai partisipasi penulis dalam memberikan kontribusi terhadap pengembangan keilmuan, khususnya dalam bidang matematika.
2 Bagi pembaca, khususnya bagi jurusan matematika dapat memberikan masukan dalam memahami teori matematikanya.
1.5 Batasan Masalah
Untuk lebih jelas dan terarah pada sasaran yang diharapkan dalam pembahasan skripsi ini, maka diperlukan adanya pembatasan masalah yang akan dibahas yaitu: Sistem persamaan nonlinier polinomial yang dapat dilinierkan.
1.6 Metodologi Penelitian
Penelitian ini merupakan sebuah penelitian kepustakaan (library reseach) yaitu melakukan penelitian untuk memperoleh data-data dan informasi menggunakan teknik dokumenter, artinya data-data sumber penelitian dikumpulkan dari dokumen-dokumen, baik yang berupa buku, artikel, jurnal, majalah, maupun karya ilmiah lainnya yang berkaitan dengan topik atau permasalahan yang diteliti.
Adapun tahapan-tahapan yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari, mempelajari dan menelaah sumber-sumber informasi yang berhubungan dengan topik yang diteliti.
2. Memberikan deskripsi dan analisis tentang solusi sistem persamaan nonlinier dengan metode Jacobian.
3. Mengaplikasikan metode Jacobian dengan kasus.
4. Melakukan komputasi numerik solusi iteratif dengan metode Jacobian.
5. Memberikan kesimpulan akhir dari hasil pembahasan.
6. Menyusun lampiran.
