BAB I
PENDAHULUAN
I.1. Latar Belakang
Metode numerik adalah salah satu cabang atau bidang matematika,
khususnya matematika rekayasa, yang menggunakan bilangan untuk menirukan
proses matematika (Djojodiharjo,2000:1). Proses matematika ini selanjutnya
dirumuskan untuk menirukan keadaan yang sebenarnya. Di dalam kegiatan
rekayasa dan penelitian, setiap analisis diharapkan dapat menghasilkan bilangan, yang diperlukan dalam perencanaan teknik ataupun penghayatan masalah. Mempelajari atau menerapkan metode numerik, haruslah dilandasi oleh beberapa pemikiran dasar, baik berupa manfaat (modal,asset) maupun kendala.
Dalam metode numerik ada lima pokok pemikiran dasar yang
melandasinya, pertama adalah perlu dipahami bahwa setiap perhitungan
(komputasi) mempunyai tujuan, yaitu tujuan utamanya adalah penghayatan
masalah bukan hanya untuk memperoleh bilangan dan selain itu juga dapat
diketahui hitungan yang tepat atau sebenarnya. Selanjutnya, dalam melakukan
penghitungan, hendaknya dipilih proses perhitungan atau algoritma yang efisien, yaitu yang memerlukan waktu perhitungan yang sependek mungkin, dengan demikian tujuan perhitungan dapat memperoleh penghayatan masalah secara tepat dalam waktu yang sesingkat mungkin. Pemilihan rumus atau algoritma tertentu yang tidak hanya mempengaruhi perhitungan saja tetapi juga pengertian tentang hasil yang diperoleh. Berbagai cara perhitungan menghasilkan hasil antara, menggunakan sejumlah iterasi tertentu yang diperlukan atau pemilihan selang yang sering kali bermanfaat dalam memberikan pengertian tentang masalah yang dihadapi. Dengan demikian, perhitungan erat kaitannya dengan sumber masalah maupun penggunaan jawaban yang diinginkan, dan tidak dapat dipisahkan dari realitas. Hal ini dapat dilihat pada berbagai contoh aplikasi yang dibahas oleh penulis di bab-bab selanjutnya. Pemikiran kedua adalah bila tujuan komputasi adalah penghayatan masalah, maka perlu dipelajari ciri kelompok masalah dan kaitan antara kelompok satu dengan lainnya jika mungkin, dan rumus serta algoritma yang terlalu khusus sifatnya perlu dipelajari. Disini terletak beda antara
analisis numerik dengan metode numerik, analisis numerik lebih ditekankan pada pengkajian mendalam pada soal khusus, yang relevansinya dengan realitas kurang diperhatikan, sedangkan metode numerik berusaha untuk memahami kebutuhan akan metode untuk menangani masalah yang tak terhingga jumlahnya yang mungkin timbul dalam kenyataan. Pemikiran yang ketiga adalah menyangkut
galat (kesalahan) pembulatan. Galat pembulatan timbul karena dalam aplikasi,
khususnya dengan penggunaan mesin hitung dan komputer, bilangan hanya
menyatakan dalam angka (digit) yang terbatas jumlahnya (misalnya 6 angka, 8
angka). Pada mesin (computer dan kalkulator), angka 3
1 dinyatakan dengan 0,333…3, yang memiliki galat pembulatan. Galat terbesar terjadi, bila dua bilangan yang hampir sama besarnya dikurangkan, karena beberapa angka di depan saling meniadakan. Yang harus diusahakan dalam komputasi adalah menghindari galat pembulatan yang terlalu besar, dan bukan hanya menaksirnya.
Pemikiran keempat adalah menyangkut keterbatsan proses komputasi bila
dilaksanakan oleh mesin. Karena mesin mempunyai kecepatan terbatas (walaupun
sangat besar), maka untuk selang waktu tertentu hanya dapat melakukan
komputasi yang terbatas jumlahnya. Oleh karena itu, timbul galat (kesalahan)
pemotongan. Pemikiran kelima adalah umpan balik (feedback). Bilangan yang
dihasilkan pada satu tahap akan dipergunakan oleh komputer untuk komputasi
tahap berikutnya, dan seterusnya. Suatu program (prosedur) komputasi akan
mempunyai suatu jalur ulang (loop) siklus selanjutnya. Umpan balik erat
kaitannya dengan stabilitas jalur ulang umpan balik, suatu galat mungkin
membesar atau mereda setelah iterasi berkali-kali (Djojodiharjo,2000:2).
Metode numerik sudah lama berkembang, tetapi penerapan dalam pemecahan masalah belum meluas dalam berbagai bidang. Itu dikarenakan pada
masa tersebut alat bantu hitungan berupa komputer belum banyak digunakan.
Beberapa tahun terakhir ini perkembangan mengenai komputer sangat pesat
sehingga metode numerik sering diselesaikan dengan komputer, selain itu juga dengan berkebangnya komputer sebagai alat sebagai alat yang sangat ampuh untuk menyelesaikan permasalahan dalam berbagai bidang. Metode numerik mampu menyelesaikan suatu persamaan yang besar, tidak linier dan sangat komplek yang tidak mampu diselesaikan dengan analitik (Bambang
Triatmodjo,1996:1).
Kemajuan yang sangat luar biasa dalam bidang komputasi sangat
mempengaruhi perkembangan metode numerik. Dengan perkembangan komputasi
yang cepat dan efisien, peranan metode numerik dalam menyelesaikan masalah
masalah sangan meningkat secara dramatis (Susilo,1993:3). Dalam komputasi
tidak lepas dengan ketrampilan pemrogaman yang sangat menunjang dalam
menyelesaikan metode numerik. Dalam menyelesaikan metode numerik sangat
terlihat ketika diaplikasikan dengan beberapa contoh soal.
Susilo (1993:2) menyatakan bahwa selesaian suatu masalah matematika
secara umum dapat diklasifikasikan menjadi dua, yaitu secara analitik, misalnya suatu fungsi f mempunyai selesaian maka selesaian yang dimasukkannya akan memenuhi fungsi semula. Yang kedua adalah secara numerik misalnya suatu fungsi f mempunyai selesaian, maka selesaian yang dihasilkan merupakan nilai hampiran dari nilai sebenarnya.
Selain itu metode Numerik adalah salah satu mata kuliah yang ada
dijurusan matematika. Mata kuliah ini tidak lepas dengan namanya komputer
dalam hal perhitungan- perhitungan Numeriknya. Karena kalau dengan manual
sering mengalami kesulitan dalam perhitungan dalam mendapatkan hasil yang
sebenarnya.
Dari kelima metode diatas dapat dibedakan menjadi dua metode yaitu metode pengurung dan terbuka. Metode Bisection dan Interpolasi linier (Regula falsi) adalah metode pengurang yang menggunakan lebar selang yang akarnya diantara selang tersebut. Sedangkan metode Newton-Raphson dan Secant termasuk metode terbuka. Chapra (1989:130) menyatakan bahwa jika metode terbuka ini konvergen maka kekonvergenannya akan lebih cepat jika dibandingkan dengan metode pengurang.
Metode pencarian akar persamaan merupakan metode yang sangat dibutuhkan dalam mencari akar-akar suatu persamaan, yang memang seringkali tidak dapat dicari secara analitik. Solusi analitik hanya dapat diperuntukkan untuk persamaan polinomial berderajat satau atau dua. Untuk derajat lebih dari dua perlu difaktorisasikan sehingga berbentuk polinomial berderajat satu dan/ dua. Namun, sering kali persamaan polinomial derajat lebih dari dua tidak mempunyai factor polinomial derajat dua dan/atau satu sehingga tidak dapat diselesaikan secara analitik. Selain akar-akar persamaan polinomial berderajat yang lebih dari dua, akar-akar persamaan Transenden diantaranya persamaan eksponensial, persamaan logaritmik dan persamaan trigonometri yang juga merupakan permasalahan Keilmuan/ Sains yang sulit atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitik.
Dari sinilah penulis mengangkat permasalahan tentang pencarian aproksimasi pada persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri. Sedangkan dalam membantu mencari aproksimasi akar-akar persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri penulis mamakai program MATLAB karena bahasa pemogramannya lebih mudah dan salah satu program yang sesuai untuk menganalisis numerik. Maka dalam penulisan skripsi ini mengambil judul dengan “ Menentukan Prosedur Selesaian Persamaan Eksponensial, Logaritma,
dan Trigonometri dengan Metode Newton-Raphson dan Metode Secant
berbantuan Program Matlab”.
I.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas dapat diambil rumusan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana prosedur dan selesaian persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri dengan menggunakan metode Newton-Raphson berbantuan program Matlab?
2. Bagaimana prosedur dan selesaian persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri dengan menggunakan metode Secant berbantuan program Matlab?
I.3. Batasan Masalah
Berdasarkan rumusan masalah diatas penulis membatasi masalah sebagai betriku:
1. Persamaan Eksponensial dua variabel dengan x variabel bebas dan y variabel terikat dengan rumus umum dimana a, c, dan k adalah konstanta (jean E. Weber,1992:123). Persamaan logaritma dua variabel yaitu x variabel bebas dan y variabel terikat dengan rumus umum y = aekx + c y = Aln (1+ x) + B dimana A dan B adalah konstanta (jean E. Weber,1992:127). Persamaan Trigonometri adalah Persamaan yang mengandung satu atau lebih peubah trigonometri (Negoro, Harahap, 2002: 280), dengan rumus umum y = a sin x , y = a cos x , y = a tan x , dan y = a cot an x dimana a adalah Konstanta. Dari ketiga persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri pada pembahasan penulis memberi contoh persamaan gabungan antara ketiganya yaitu y = sin x + 2e−0.5x − 2log(0.1)x .
2. Nilai iterasi akan berhenti jika nilai galatnya adalahε = 5e − 5 , yang dihitung dari iterasi yang berdekatan nilai aproksimasi selesaian persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri.
I.4. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah dan batasan masalah maka tujuan penulisan sebagai berikut:
1. Mengetahui prosedur dan selesaian persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri dengan menggunakan metode Newton- Raphson dengan berbantuan Program matlab
2. Mengetahui prosedur dan selesaian persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri dengan menggunakan metode Secant berbantuan Program Matlab
I.5. Manfaat Penulisan
Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
a. Bagi penulis
1. Menambah pengetahuan dan keilmuan tentang menentukan Prosedur selesaian persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri dengan metode Newton-Raphson dan metode Secant
2. Dapat menambah pengetahuan dan keilmuan tentang komputer, khususnya bahasa pemrograman MATLAB.
b. Bagi pembaca
1. Membantu mempelajari dan memperdalam masalah menentukan Prosedur selesaian persamaan Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri dengan metode Newton-Raphson dan metode Secant
2. Sebagai literatur penunjang khususnya bagi mahasiswa yang menempuh matakuliah program komputer.
