BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Perkembangan suatu ilmu pengetahuan banyak memegang peranan penting dalam perkembangan suatu teknologi. Tanpa ilmu pengetahuan, teknologi akan sulit bisa berkembang dengan cepat.
Matematika sebagai bahasa simbol yang bersifat universal sangat erat hubungannya dengan kehidupan nyata. Kenyataan membuktikan bahwa untuk menyelesaikan masalah-masalah kehidupan nyata dibutuhkan metode-metode matematika.
Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai ciri berbeda dengan disiplin yang dimiliki oleh ilmu pengetahuan lain. Hal-hal yang dipelajari dalam matematika terdiri atas beberapa kelompok ilmu, seperti: aljabar, geometri, analisis, dan matematika terapan. Persamaan diferensial merupakan salah satu cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis.
Di dalam dunia nyata kadang terdapat masalah-masalah yang sukar diselesaikan dalam sistemnya. Untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu disusun suatu pemodelan matematika yang mirip dengan keadaan sistemnya. Masalah nyata harus dikenali terlebih dahulu melalui beberapa tahapan. Pertama, mengidentifikasi semua besaran yang terlibat. Kedua, memberi lambang pada setiap besaran yang teridentifikasi. Ketiga, menentukan satuan
setiap lambang yang ada dengan menganut suatu sistem satuan. Keempat, memilah-milah dari setiap lambang tersebut, mana yang konstanta dan mana yang variabel. Dan kelima, menentukan hukum yang mengendalikan pada masalah nyata tersebut. Dengan hukum yang mengendalikan masalah nyata tersebut menentukan hubungan antara variabel dan konstanta, yang disebut dengan model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, persamaan diferensial, dan sebagainya. Kemudian dengan memanfaatkan teori-teori dalam matematika diperoleh solusi model. Dengan menginterpretasikan solusi model ditentukan solusi masalah. Pada proses ini satuan muncul kembali.
Parsial (partial differential equation). Persamaan Diferensial Biasa didefinisikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan biasa suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas. Sedangkan Persamaan Diferensial Parsial didefinisikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas.
Setelah suatu model matematika diubah dalam bentuk persamaan diferensial, langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan diferensial tersebut dengan menentukan solusinya. Solusi persamaan diferensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tersebut. Artinya, jika fungsi itu dan turunan-turunannya disubtitusikan ke dalam persamaan diferensial tersebut, diperoleh suatu pernyataan yang benar. Dikatakan solusi umum jika persamaan fungsi masih memuat konstanta, dan disebut solusi khusus jika tidak terdapat konstanta yang didapatkan dengan menggantikan nilai-nilai awal dan syarat batas yang diketahui.
Metode Transformasi Laplace (Laplace Transformation) merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquas De Laplace seorang matematikawan Perancis dan seorang guru besar di Paris. Bentuk umum Transformasi Laplace dapat dituliskan dalam bentuk:
F(s)=L{f}, ∫∞−=0)(dttfest4
dimana f(t) adalah suatu fungsi yang terdefinisi untuk ∞<≤t0.
Dalam penulisan ini akan dibahas solusi persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode transformasi Laplace. Transformasi Laplace adalah operasi matematika yang dapat mentransformasikan persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa. Kemudian mentransformasikan balik untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial parsial tersebut.
B. Permasalahan
Berdasarkan uraian di atas, maka permasalahan yang timbul adalah “Bagaimana menentukan bentuk transformasi Laplace dari masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial?”
C. Batasan Masalah
Untuk membatasi ruang lingkup penulisan skripsi ini, diberikan batasan-batasan, yaitu menyelesaikan masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial linear orde dua dengan kasus parabolik pada persamaan konduksi panas dimensi satu.
D. Tujuan
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui bentuk transformasi Laplace dari masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial.
E. Manfaat
Manfaat yang diharapkan dalam penulisan skripsi ini adalah:
(1) setelah mengetahui metode transformasi Laplace diharapkan pembaca dapat menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan transformasi Laplace;
(2) pembaca diharapkan dapat menentukan bentuk transformasi Laplace dari setiap masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial yang diberikan.
