BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan yang konsep
dasarnya digunakan untuk pengembangan ilmu-ilmu yang lain. Matematika
senantiasa dikaji dan dikembangkan agar dapat dimanfaatkan di dalam aspek penerapannya. Masalah-masalah dalam dunia nyata dapat lebih mudah dimengerti dengan menggunakan pendekatan matematik. Pada umumnya untuk menentukan solusi dari masalah-masalah tersebut diperlukan suatu pemodelan matematika. Adapun langkah-langkah dalam membangun model matematika sebagai berikut.
1. Mengidentifikasi semua besaran yang terlibat dalam masalah tersebut.
2. Memberi lambang pada semua besaran.
3. Menentukan satuan untuk semua besaran.
4. Menentukan besaran mana yang merupakan konstanta dan mana yang merupakan variabel.
5. Menentukan hubungan antara variabel dan konstanta sehingga dapat disusun menjadi suatu model matematika.
6. Mencari solusi model berdasarkan teori-teori dalam matematika.
7. Menginterpretasikan solusi model yang memunculkan solusi masalah. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gb. 1.
Hukum yang mengendalikan - Identifikasi
- Lambang
- Satuan
- Variabel atau konstanta
Gb. 1. Langkah-Langkah Membangun Model Matematika
Salah satu kajian matematika yang konsep-konsepnya banyak digunakan dalam bidang lain adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat satu (atau beberapa) turunan fungsi yang tak diketahui. Suatu persamaan diferensial yang memiliki satu variabel bebas disebut persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan diferensial yang memiliki lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial (Rochmad, 2002 : 3). Dalam berbagai masalah fisik dan geometri yang melibatkan dua fungsi atau lebih peubah bebas sangat berkaitan dengan persamaan diferensial. Untuk masalah fisik yang paling sederhana dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa, sedangkan masalah fisik yang lain seperti mekanika fluida, mekanika padat, teori elekromagnetik, teori potensial, difusi dan sebagainya merupakan masalah-masalah fisik yang harus dimodelkan dengan persamaan diferensial parsial. Jika ekspansi deret Fourier untuk F(t) berubah menjadi bentuk sederhana
Ft A A coswt 0 1 , (3)
maka persamaan (1) dikenal sebagai persamaan diferensial Mathieu. Jika fungsi F(t) suatu fungsi periodik, maka persamaan (1) dikenal sebagai persamaan diferensial Hill (Pipes, 1991 : 911).
Sifat dasar analisis yang timbul dari penerapan-penerapan praktis
menunjukan bahwa analisis tersebut dapat dibagi dalam dua kategori utama.
Kategori pertama adalah masalah-masalah yang menimbulkan persamaan (1) sebagai akibat dari pemisahan variabel suatu masalah nilai batas. Dalam hal ini penyelesaian yang sesuai dituntut merupakan fungsi periodik. Sedangkan dalam kategori kedua dijumpai masalah-masalah yang dapat dipandang sebagai masalah nilai awal yang di dalamnya melibatkan persamaan (1). Dalam hal ini penyelesaian-penyelesaian tidak terbatas pada penyelesaian periodik. Dalam penulisan ini akan menyajikan suatu metode penyelesaian persamaan (1) yang terikat oleh syarat-syarat awal yang ditentukan apabila penyelesaiannya tidak disyaratkan harus periodik. Metode yang disajikan dapat menyederhanakan penyelesaian persamaan (1) yang terikat oleh syarat-syarat awal yang diberikan. Selain itu dengan menggunakan matriks dapat diperoleh solusi masing-masing persamaan diferensial yang membangun sistem persamaan diferensial secara bersamaan.
Dalam menentukan penyelesaian persamaan diferensial akan lebih
mudah dan cepat apabila digunakan suatu alat bantu seperti komputer. Akhirakhir ini perkembangan perangkat lunak komputer yang berbasis matematika sangatlah pesat. Hal ini terbukti dengan munculnya perangkat lunak yang dapat digunakan untuk kepentingan pengembangan matematika maupun penerapannya. Salah satu perangkat lunak yang dikembangkan untuk kepentingan Sistem Komputer Aljabar (Computer Algebaric System) adalah Maple. Maple banyak digunakan oleh para ilmuwan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan matematika, karena Maple merupakan perangkat lunak yang lengkap dan komunikatif pada jenisnya. Permasalahan yang dapat diselesaikan dengan Maple merupakan permasalahan matematika murni, seperti aljabar, geometri, kalkulus, matematika diskret, dan statistika. Berdasarkan hal tersebut di atas penulis tertarik untuk mengetahui bagaimana penggunaan aljabar matriks dalam menyelesaikan persamaan Hill dan penggunaan Maple untuk visualisasinya. Sehingga dalam penulisan skripsi ini penulis mengambil judul “ Penyelesaian Persamaan Diferensial Jenis Mathieu-Hill”.
B. PERMASALAHAN
Permasalahan yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah, sebagai berikut.
1. Bagaimana prosedur penggunaan metode matriks untuk menyelesaikan persamaan diferensial Hill ?
2. Bagaimana aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan diferensial Hill ?
C. TUJUAN PENELITIAN
Tujuan dari penelitian ini adalah, sebagai berikut.
1. Dapat mengetahui cara penggunaan aljabar matriks dalam menyelesaikan persamaan diferensial Hill.
2. Dapat mengetahui aplikasi program Maple untuk visualisai persamaan diferensial Hill.
D. MANFAAT PENELITIAN
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah, sebagai berikut. 1. Membantu mahasiswa dalam mempelajari penyelesaian persamaan diferensial Hill dengan menggunakan aljabar matriks sekaligus menambah pengetahuan dalam penggunaan program Maple untuk visualisasinya.
