Himpunan fungsi multiplikatif (dinotasikan dengan M) merupakan subset dari himpunan fungsi aritmetika (dinotasikan dengan A) yang memiliki karakteristik khusus. Suatu fungsi aritmetika f dikatakan multiplikatif jika ∀ n1, n2 ∈ Z+ dimana (n1, n2) = 1 maka f (n1 • n2) = f (n1) • f (n2). Terhadap dua atau lebih fungsi multiplikatif dapat dilakukan operasi untuk menghasilkan fungsi yang lain, salah satunya adalah operasi hasil kali dirichlet yang dinyatakan oleh ∑ = ∗ n d d n g d f n g f | ) ( ) ( ) )( ( dimana f, g ∈ M dan n ∈ Z+ . Himpunan fungsi multiplikatif M yang dikenai operasi Dirichlet product akan membentuk suatu struktur aljabar yang disebut grup jika memenuhi empat aksioma, yaitu tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers di M. Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penelitian ini bertujuan untuk mengetahui contoh dan bukan contoh fungsi aritmetika yang merupakan fungsi multiplikatif serta mengidentifikasi struktur grup pada himpunan fungsi multiplikatif atas operasi Dirichlet product atau (M, ∗ ). Hasil penelitian menunjukkan bahwa fungsi identitas (id), fungsi konstan satuan (1), fungsi banyak pembagi (τ), fungsi jumlah pembagi (σ), fungsi euler (φ), fungsi mobius (μ), dan fungsi unit (ε) merupakan anggota M dan fungsi banyak faktor prima berbeda bukan anggota M. Selain itu, himpunan fungsi multipliktif dengan operasi Dirichlet product membentuk grup. Meskipun demikian, dalam skripsi ini penuls hanya membuktikan pernyataan tersebut untuk n bilangan prima
96. Fungsi Multiplikatif dan Dirichhlet Product Dalam Teori Grup
ABSTRAK
Himpunan fungsi multiplikatif (dinotasikan dengan M) merupakan subset dari himpunan fungsi aritmetika (dinotasikan dengan A) yang memiliki karakteristik khusus. Suatu fungsi aritmetika f dikatakan multiplikatif jika ∀ n1, n2 ∈ Z+ dimana (n1, n2) = 1 maka f (n1 • n2) = f (n1) • f (n2). Terhadap dua atau lebih fungsi multiplikatif dapat dilakukan operasi untuk menghasilkan fungsi yang lain, salah satunya adalah operasi hasil kali dirichlet yang dinyatakan oleh ∑ = ∗ n d d n g d f n g f | ) ( ) ( ) )( ( dimana f, g ∈ M dan n ∈ Z+ . Himpunan fungsi multiplikatif M yang dikenai operasi Dirichlet product akan membentuk suatu struktur aljabar yang disebut grup jika memenuhi empat aksioma, yaitu tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers di M. Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penelitian ini bertujuan untuk mengetahui contoh dan bukan contoh fungsi aritmetika yang merupakan fungsi multiplikatif serta mengidentifikasi struktur grup pada himpunan fungsi multiplikatif atas operasi Dirichlet product atau (M, ∗ ). Hasil penelitian menunjukkan bahwa fungsi identitas (id), fungsi konstan satuan (1), fungsi banyak pembagi (τ), fungsi jumlah pembagi (σ), fungsi euler (φ), fungsi mobius (μ), dan fungsi unit (ε) merupakan anggota M dan fungsi banyak faktor prima berbeda bukan anggota M. Selain itu, himpunan fungsi multipliktif dengan operasi Dirichlet product membentuk grup. Meskipun demikian, dalam skripsi ini penuls hanya membuktikan pernyataan tersebut untuk n bilangan prima
Himpunan fungsi multiplikatif (dinotasikan dengan M) merupakan subset dari himpunan fungsi aritmetika (dinotasikan dengan A) yang memiliki karakteristik khusus. Suatu fungsi aritmetika f dikatakan multiplikatif jika ∀ n1, n2 ∈ Z+ dimana (n1, n2) = 1 maka f (n1 • n2) = f (n1) • f (n2). Terhadap dua atau lebih fungsi multiplikatif dapat dilakukan operasi untuk menghasilkan fungsi yang lain, salah satunya adalah operasi hasil kali dirichlet yang dinyatakan oleh ∑ = ∗ n d d n g d f n g f | ) ( ) ( ) )( ( dimana f, g ∈ M dan n ∈ Z+ . Himpunan fungsi multiplikatif M yang dikenai operasi Dirichlet product akan membentuk suatu struktur aljabar yang disebut grup jika memenuhi empat aksioma, yaitu tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers di M. Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penelitian ini bertujuan untuk mengetahui contoh dan bukan contoh fungsi aritmetika yang merupakan fungsi multiplikatif serta mengidentifikasi struktur grup pada himpunan fungsi multiplikatif atas operasi Dirichlet product atau (M, ∗ ). Hasil penelitian menunjukkan bahwa fungsi identitas (id), fungsi konstan satuan (1), fungsi banyak pembagi (τ), fungsi jumlah pembagi (σ), fungsi euler (φ), fungsi mobius (μ), dan fungsi unit (ε) merupakan anggota M dan fungsi banyak faktor prima berbeda bukan anggota M. Selain itu, himpunan fungsi multipliktif dengan operasi Dirichlet product membentuk grup. Meskipun demikian, dalam skripsi ini penuls hanya membuktikan pernyataan tersebut untuk n bilangan prima
